Задачи на классическое определение вероятности

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение: важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов), при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30-ти шаров).

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:

– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара ». В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

– из урны будет извлечён красный шар;

– из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ:

На практике распространён «скоростной» вариант оформления решения:

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:

– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;

– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;

– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ:

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание: ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение: сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов. То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:

И подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:

– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Абонент забыл пин – код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – большее количество):

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

б) не более четырёх очков;

в) от 3-х до 9 очков включительно.

Решение: найдём общее количество исходов:

способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций, всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике.

– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;

– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;

– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:

– искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:

– вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.

в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3-х до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие: – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:

– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.

Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

– вероятность того, что выпадет от 3-х до 9 очков включительно.

Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.

Ответ:

В следующей задаче повторим таблицу умножения:

Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:

а) будет равно семи;

б) окажется не менее 20-ти;

Краткое решение и ответ в конце урока.

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах;

б) двое выйдут на одном этаже;

в) все выйдут на одном этаже.

Решение: вычислим общее количество исходов: способами может выйти из лифта 1-й пассажир и способами – 2-й пассажир и способами – третий пассажир. По правилу умножения комбинаций: возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.

Второй способ основан на размещениях с повторениями:

– кому как понятнее.

а) Рассмотрим событие: – пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:

способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле проведите самостоятельно.

По классическому определению:

в) Рассмотрим событие: – пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: .

Заходим с чёрного хода:

б) Рассмотрим событие: – два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий – на другом).

События образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет, а значит, .

В результате, искомая вероятность:

Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу, может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!

Ответ:

Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4-х знаков после запятой.

Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:

, что и требовалось проверить.

Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.

Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:

а) на всех монетах выпадет орёл;

б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка;

в) орёл выпадет на половине монет.

На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?

Решение: с общим количеством исходов проблем не возникает:

способами могут рассесться 7 человек на скамейке.

Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь – это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:

Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё – для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить способами.

Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит благоприятствующих исходов.

Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:

Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место), то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:

По классическому определению:

– вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.

Ответ:

На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?

Справка: шахматная доска имеет размер клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали

Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое – когда расставляешь фигуры собственными руками.

Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?

Решение: коль скоро неизвестный автор умолчал о колоде, будем считать, что в ней 36 карт. Ну а зачем нам больше?

Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний:

способами можно выбрать 4 карты из колоды.

Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4-х карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, – две другие карты:

способами можно извлечь одного туза;

способами можно выбрать одного короля.

Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 – 4 – 4 = 28

способами можно извлечь две другие карты.

По правилу умножения комбинаций:

способами можно извлечь искомую комбинацию карт (1-го туза и 1-го короля и две другие карты).

Прокомментирую комбинационный смысл записи другим способом:

каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.

По классическому определению:

– вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.

Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.

Ответ:

Более простая задача для самостоятельного решения:

В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали.

Найти вероятность того, что:

а) обе детали будут качественными;

б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;

в) обе детали бракованны.

События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!

Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?

Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:

способами можно выбрать 3 вопроса из 60-ти (общее количество исходов).

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:

способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;

способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.

По правилу сложения комбинаций:

способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3-х вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).

По классическому определению:

– вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Ответ:

Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что:

а) среди этих карт будет пара десяток и пара валетов;

б) игроку будет сдан флеш (5 карт одной масти);

в) игроку будет сдано каре (4 карты одного номинала).

Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?

! Внимание! Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо дать ответ.

Справка: в покер традиционно играют 52-х карточной колодой, которая содержит карты 4-х мастей номиналом от «двоек» до тузов.

Покер – игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками.

Решения и ответы :

Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

По классическому определению:

– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.

Ответ:

Задача 4: Решение: найдём общее число исходов:

способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4-х мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .

Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).

Таким образом, по классическому определению:

– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки

Ответ:

Задача 6: Решение: найдём общее количество исходов:

способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.

способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.

а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:

, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20-ти. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

По классическому определению:

– искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:

– произведение очков будет чётным;

– произведение очков будет нечётным.

Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.

По классическому определению вероятности:

Противоположные события образуют полную группу, поэтому:

– искомая вероятность.

Ответ:

Задача 8: Решение: вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 2 монеты.

Другой путь: способами может упасть 1-ая монета и способами может упасть 2-ая монета и и способами может упасть 10-ая монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.

а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .

б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.

Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .

в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.

Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:

Ответ:

способами можно расставить двух ладей на доске.

Другой вариант оформления: способами можно выбрать две клетки шахматной доски и способами поставить белую и чёрную ладью в каждом из 2016 случаев. Таким образом, общее число исходов: .

Теперь подсчитаем исходы, в которых ладьи «бьют» друг друга. Рассмотрим 1-ую горизонталь. Очевидно, что фигуры можно расставить на ней произвольным образом, например, так:

Кроме того, ладей можно переставить. Придаём рассуждениям числовую форму: способами можно выбрать две клетки и способами переставить ладей в каждом из 28 случаев. Всего: возможных расположений фигур на горизонтали.

Короткая версия оформления: способами можно разместить белую и чёрную ладью на 1-й горизонтали.

Проведённые рассуждения справедливы для каждой горизонтали, поэтому количество комбинаций следует умножить на восемь: . Кроме того, аналогичная история справедлива для любой из восьми вертикалей. Вычислим итоговое количество расстановок, в которых фигуры «бьют» друг друга:

Тогда в оставшихся вариантах расстановки ладьи не будут «бить» друг друга:

По классическому определению вероятности:

– вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья не будут «бить» друг друга.

Ответ:

Задача 12: Решение: всего: 15 + 5 = 20 деталей в ящике. Вычислим общее число исходов:

способами можно извлечь 2 детали из ящика.

а) Рассмотрим событие: – обе извлечённые детали будут качественными.

способами можно извлечь 2 качественные детали.

По классическому определению вероятности:

б) Рассмотрим событие: – одна деталь будет качественной, а одна – бракованной.

способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.

По классическому определению:

в) Рассмотрим событие: – обе извлечённые детали бракованны.

способами можно извлечь 2 бракованные детали.

По классическому определению:

Проверка: вычислим сумму вероятностей событий, образующих полную группу: , что и требовалось проверить.

Ответ:

способами можно сдать 5 карт.

а) способами можно сдать две десятки;

способами можно сдать 2-х валетов;

Количество других карт в колоде: 52 – 4 – 4 = 44

способами можно сдать другую карту.

По правилу умножения комбинаций:

способами можно сдать 5 карт, среди которых будет пара десяток и пара валетов.

По классическому определению:

б) В колоде: 52 / 4 = 13 карт каждой масти.

способами можно сдать 5 карт какой-то одной из мастей.

По правилу сложения комбинаций:

способами можно сдать флеш (без разницы какой масти).

По классическому определению:

в) Четыре карты одного номинала можно сдать 13-ю способами (2222, 3333, 4444, …, КККК, ТТТТ). Кроме того, для каждого из этих 13-ти случаев пятую карту можно сдать способами. Таким образом, по теореме умножения комбинаций, каре можно сдать способами.

По классическому определению:

Ответ:

Из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить флеш.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий или (без разницы какого), равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для большего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и :

Следует отметить, что для совместных событий равенство будет неверным. Теорема сложения вероятностей совместных событий имеет гораздо меньшее значение практики, поэтому о ней чуть позже.

А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие учёбы – игральный кубик с полной группой событий , которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.

Рассмотрим событие – в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (выпадет 5 или 6 очков). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4-х очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

По той же теореме, вероятность того, что выпадет нечётное число очков:

и так далее.

«Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?»

В той задаче мы сначала нашли (количество всех возможных сочетаний трёх вопросов), затем вычислили количество благоприятствующих исходов и вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Но здесь вместо правила сложений комбинаций в ходу и другая схема рассуждений. Рассмотрим два несовместных события:

– студент ответит на 2 вопроса из 3-х;

– студент ответит на все три вопроса.

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Вдумаемся ещё раз: студент не может ответить на 2 вопроса из 3-х и в то же самое время ответить на все 3 вопроса. Таким образом, события и – несовместны.

Теперь, пользуясь классическим определением, найдём их вероятности:

Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой (ответ на 2 вопроса из 3-х или на все вопросы). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Этот способ решения совершенно равноценен, выбирайте, какой больше нравится.

Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

По теореме сложения несовместных событий:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Безусловно, задача разрешима и чисто через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта кол-ва благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.

В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Аналогично – здесь можно использовать комбинаторное правило суммы, но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий!



Системы линейных уравнений