Прямая в пространстве и различные способы ее задания.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору имеет вид:

(1)

и называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Здесь – радиус-вектор произвольной точки М(x,y,z) прямой; – радиус-вектор фиксированной точки , t – параметр, принимающий всевозможные действительные значения. Вектор называется направляющим вектором прямой, а его координаты направляющими коэффициентами прямой.

Если в уравнении (1) перейти к координатам векторов, то получаются параметрические уравнения прямой:

(2)

Если из уравнений (2) исключить параметр t, то получаются канонические уравнения прямой:

(3)

(4)

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей

Т.о., прямая определяется совместным заданием системы двух линейных уравнений:

(5)

Они называются общими уравнениями прямой. В этом случае направляющий вектор прямой можно определить следующим образом:

.

Пусть заданы две прямые: и . Тогда условие параллельности прямых записывается в виде: , условие перпендикулярности– в виде: , а угол между ними вычисляется по формуле

.

Пример 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M1(2;0;–3) параллельно: а) вектору ; б) прямой ; в) оси Ox.

Решение. а) Так как искомая прямая параллельна вектору , то этот вектор можно принять за ее направляющий вектор. Тогда канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

б) Так как искомая прямая параллельна прямой с направляющим вектором , то этот вектор параллелен искомой прямой, значит, его можно принять за направляющий вектор искомой прямой. Тогда канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

.

в) Так как искомая прямая параллельна оси Ox, значит, она параллельна вектору , т.е. и канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

.

Случай, когда хотя бы в одном знаменателе канонических уравнений прямой получается ноль, не лишено смысла, но свидетельствует о том, что направляющий вектор прямой имеет одну или две нулевые координаты. В таких случаях лучше записывать параметрические уравнения прямой:

Пример 2. Составить канонические уравнения прямой

Решение. Для составления канонических уравнений прямой необходимо знать направляющий вектор и какую-нибудь фиксированную точку на прямой M0. Направляющий вектор вычислим как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, эту прямую образующих. Т.к. , , то

В качестве фиксированной точки можно выбрать любую точку прямой. Зададим одну из координат искомой точки произвольно. Пусть z=0. Тогда

.

Теперь составляем канонические уравнения прямой, зная ее направляющий вектор и фиксированную точку M0:



Прямая и плоскость в пространстве Основные задачи
Необходимые и достаточные условия экстремума


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать